2022.07.26 과제

Yaw Pitch Roll (오일러회전) , 짐벌락(김벌락), 사원수 (쿼터니언) 정리하세요

Yaw Pitch Roll (오일러회전) Yaw Pitch Roll은 상대적인 회전축입니다. 얼리얼 엔진처럼  Z 축이 Up일 때 Roll : X축 , pitch : Y축 , Yaw : Z축 입니다. Direct X에서 처럼 Y 축이 Up일 때 Pitch : X축 , Yaw : Y축 , Roll : Z축 입니다. Yaw Pitch Roll를 회전 공식으로 만들면 다음과 같습니다. Z축이 Up일 때는 Z축 -> Y축 -> X축 순서로 곱해주게 됩니다. 직접 그림 Y축이 Up일 때는 Y축 -> X축 -> Z축 순서로 곱합니다. 직접그림 아래 그림 처럼 항공기가 수평한 땅에 놓여져 있다고 합시다. 출처 - https://gammabeta.tistory.com/1761 항공기 머리부터 꼬리까지 가로지르는 종축(longitudinal axis)을 X축 오른날개에서 왼날개까지 가로지르는 횡축(lateral axis)를 Y축 항공기 중심과 수평면까지 내려가는 수직축(vertical axis)를 Z축  이라고 합시다. Roll : x축(종축)을 중심으로 회전하는 것.  Pich : y축(횡축)을 중심으로 회전하는 것.  Yaw : z축(수직축)을 중심으로 회전하는 것. 아래 그림을 보면 이하기 쉽습니다. 출처 - https://happy8earth.tistory.com/492 -출처- https://gammabeta.tistory.com/1761 https://happy8earth.tistory.com/492 교수님의 수업내용을 참고

 

짐벌락(김벌락) 짐벌(김벌)이란 단일 축에 대한 물체의 회전을 허용하는 것으로 수평 유지 장치를 말합니다. 짐벌락(김벌락)이란 오일러 각에서 회전 순서에 따라서 회전에 영향을 받는 축이 바뀌기 때문에 3차원 공간 상에서 두 축이 겹쳐서 한 축이 소실되는 현상을 말합니다. 아래 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있습니다. 출처 - https://showmiso.tistory.com/55 그림의 짐벌에서 초록색은 y축, 분홍색은 x축, 파란색은 z축을 의미합니다. y를 회전하면 x와 z에 영향을 줍니다. x를 회전하면 z에만 영향을 줍니다. 만약 x축을 90도 회전하여 z축과 y축이 일치하게 되면, 한 축이 소실되는 현상이 나타나는데 이것이 짐벌락(김벌락)이라고 합니다. 출처 https://showmiso.tistory.com/55

 

사원수(Quaternion : 쿼터니언) 3차원 그래픽에서 회전을 표현할 때, 행렬 대신 사용하는 수학적 개념으로 4개의 값으로 이루어진 복소수(Complex Number) 체계입니다. 복소수란 가장 큰 범위의 수로 실수부와 허수부의 합으로 구성된 수입니다. 사원수의 장점 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 -사원수는 행렬에 비해 연산 속도가 빠르고, 차지하는 메모리의 양도 적으며, 결과의 질에 있어 오류가 날 확률이 적습니다. -3개의 축에 대한 회전 연산을 동시에 적용하는 경우에 행렬을 사용하면 한 축이 소실되는 짐벌락 현상이 발행할 수 있는데, 사원수를 사용하면 이 현상을 막을 수 있습니다. 사원수의 단점 -공식이 어렵습니다. 사원수의 정의 사원수는 4차원 복소수 공간(Complex Space)의 벡터로서 다음과 같이 나타낸다. q = <w, x, y, z> = w + xi + yj + zk = (w , (x, y, z)) 사원수를 q = s + v 형태로 쓰기도 하는데, 여기서 s 는 q의 w 성분에 해당하는 스칼라(Scalar) 값이고, v는 q의 x, y, z 성분에 해당하는 벡터(Vector) 부분입니다. q = s + v 사원수의 특징 -사원수의 곱은 일반적인 분배법칙을 따르며 허수 성분인 i, j, k는 다음과 같은 특징을 갖습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 -사원수는 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않습니다. 출처 - https://showmiso.tistory.com/57 위와 같은 두 사원수 q1,q2가 있을 때, 두 사원수의 곱q1q2는 다음과 같습니다.  출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 사원수를 스칼라, 벡터 형태로 표기하여 간단하게 표현하면 다음과 같습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 - 사원수는 켤레(Conjugate)를 갖습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 - 사원수는 역수를 갖습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 단위 쿼터니언을 갖는다. q = [1, (0, 0, 0)] 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 단위 쿼터니언은 3D 공간에서 오일러, Axis 대신 방향을 표현합니다. 쿼터니언으로 방향을 표현하려면 쿼터니언을 행렬로 변환하거나, 행렬을 쿼터니언으로 변환할 필요가 있습니다. 사원수의 회전 사원수를 행렬로 변환하면, 아래와 같습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 사원수의 보간 보간(interpolation)이란 처음과 끝의 값을 가지고 중간의 값을 계산하는 것입니다. 물체의 애니메이션을 수행할 때, 보간을 통해 계산된 키프레임 사이의 중간 방향을 생성합니다. 가장 간단한 보간은 선형보간(linear interpolation)으로 두 개의 값을 점으로 생각하고 두 개의 점을 이어주는 직선의 방정식으로부터 값을 얻어내는 방법입니다. 두 사원수 q1,q2에 대해, 선형 보간된 사원수 q(t)에 정규화 해줍니다. 식은 다음과 같습니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 그림은 2차원 단면이나, 실제로는 4차원 단위 초구면 상의 경로를 따라갑니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 이러한 선형 보간은 간단하고,  효과적이나 오차가 발생하는 문제가 있습니다. 오차를 줄이기 위해서 구면 선형보간(spherical linear interpolation : slerp)을 사용하게 됩니다. 출처 -&nbsp;https://showmiso.tistory.com/57 출처 https://showmiso.tistory.com/57 https://luv-n-interest.tistory.com/805 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=canny708&logNo=221546934718 https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=sipack7297&logNo=220421092039&view=img_5